El primer número irracional

El primer número irracional.-

La primera vez que me enfrenté con “210 x 297” fue en las clases de dibujo del ingreso en la escuela de ingenieros. Teníamos que hacer estos rectángulos en el papel para luego  dibujar dentro. Creía que se trataba de dimensiones originales en pulgadas que había que poner en milímetros. La verdad, no pensé mucho en ello. Tenía otras preocupaciones. Tenía que aprobar para ingresar cuanto antes.

Poco después me enteré que estas extrañas medidas…210x298 eran las del DINA 4.

Esta es una narración acerca del improbable origen pitagórico del DINA 4.

Se cuenta que en el siglo V antes de Cristo las escuelas matemáticas de Grecia estaban enredadas  en la resolución del problema de construir un cuadrado que tuviera el doble de área que otro.

La convicción de que todos los números eran medibles por repetición de otros menores les llevó a probar primero con un lado de doble longitud que el primero; luego intentaron aproximarse con una vez y media y vieron que seguían lejos del cuadrado buscado. Después probaron con uno y un tercio del lado original y ¡vaya!, se quedaron cortos. Siguieron con uno y cuarto y mitad. Aquí se aproximaron un poco más. Y siguieron probando y probando; pero nunca podían asegurar que el nuevo cuadrado fuera de doble área del original. Era un problema que aparentemente no tenía solución.

En una ciudad griega del sur de Italia, llamada Tarento, había una escuela matemática  que era un monasterio donde se adoraba a la geometría, así como a otras materias igual de divertidas. Allí estaban los seguidores de Pitágoras. Uno de ellos llamado Hipaso de Metaponto siguiendo un sencillo dibujo geométrico se dio de cara con la solución.

Se podría pensar que la cosa fue así:

Dibujó un cuadrado de lado la unidad. Trazó una diagonal. Así quedaba dividido el cuadrado en dos triángulos iguales con la hipotenusa común y con los lados del cuadrado como catetos.

Luego dibujó un cuadrado, cuyo lado era la diagonal anterior (la hipotenusa común a cada uno de los triángulos rectángulos) y se dio cuenta de que el nuevo cuadrado tenía cuatro triángulos rectángulos idénticos a los dos que tenía el cuadrado original. Es decir,  que el nuevo cuadrado era de doble área que el primero. ¡eureka!,. Pero…

Pero no se podía medir el lado del cuadrado doble. Se resolvió un problema y se descubrió otro mucho más amplio. La medida de  la diagonal era un número raro. Había números raros. Números que no se podían medir como los que se conocían hasta entonces. ¡ vaya disgusto para los compañeros pitagóricos!

Para ellos, cualquier número “debía caber” en otro o era fracción del mismo. Es decir cualquier número era medible por comparación. Los números que se pueden medir  son los llamados números racionales.

Por ejemplo, el 14 es un número racional porque se puede decir que el número 2 cabe 7 veces en el catorce. O también, que el número 2,5 se puede medir partiendo por la mitad el número 5. O que el número 0,333…también es un número racional porque se obtiene dividiendo la unidad en tres partes… aunque- hoy sabemos que- tenga infinitos treses. En resumen, un número racional es el que se obtiene de una división entre dos números enteros.

Así que se comprende el grandísimo disgusto que se llevaron los matemáticos de entonces cuando descubrieron que había números que no se obtenían por fracción o división entre otros dos. Eran los que después se llamaron los números irracionales.

Ese día en que resolvieron el problema del cuadrado de área doble a otro, debió ser el mismo en que descubrieron el “primer número irracional”.

Los números irracionales no lo son en el sentido en que lo son los animales no humanos (y algunos humanos); sino porque no proceden de la división o razón entre dos números enteros. Una vez aclarado que los números irracionales no son números locos ni poco razonables, podemos afirmar que se caracterizan fundamentalmente porque son inconmensurables. No se pueden medir con otro número.

Buscaron  el 2 multiplicando  por sí mismas fracciones escogidas. Sin éxito lo intentaron con

7/5,  10/7,  17/12,  24/17,  27/19,  41/29…

hasta que se cansaron.

Cumplidas las previsibles medidas de castigo para el tal Hipaso, los pitagóricos empezaron a discurrir acerca de tan extraño numerito.

Primero, había que darle un nombre. Veamos, si es la diagonal de un triángulo rectángulo isósceles, este número al cuadrado (la hipotenusa) es la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, 1²+1² =1+1 =2. El número buscado es aquel que elevado al cuadrado da 2. Se podría llamar la raíz de 2 y lo podremos nombrar como

r 2.

Hacía tiempo que Tales de Mileto había descubierto la proporcionalidad de las figuras como un elemento muy útil para la especulación geométrica. De tal manera que un triángulo cualquiera resultaba ser  proporcional a otro obtenido al partirlo con una paralela a uno de sus lados.

“En el triángulo grande, lado grande es a lado pequeño como lado grande es a lado pequeño en el triángulo pequeño”

Con los cuadriláteros no sucedía lo mismo. Ni siquiera con aquellos cuadriláteros que tenían los lados paralelos, como, por ejemplo, los rectángulos: en el caso de los rectángulos sólo había una posición de paralela para la cual se cumplía el teorema de Tales. En la escuela pitagórica de Tarento conocían muy bien el teorema de Tales y decidieron aplicarlo a un rectángulo cuyos  lados midieran 1  y  r2.

Hicieron el siguiente experimento:

Construyeron un rectángulo ABCD cuyo lado menor AB era la unidad y el mayor, CD,  r2.  Dividieron el rectángulo en dos partes iguales con una paralela al lado pequeño a una distancia mitad que r2 y aplicaron Tales:

“En el rectángulo grande, lado grande es a lado pequeño como lado grande es a lado pequeño en el rectángulo pequeño”

Y ¡oh, sorpresa! descubrieron que los dos rectángulos eran proporcionales.  Y sólo cuando el corte se hacía por la mitad de r2.

(En el rectángulo ABCD (1 x r2), la proporción r2/1 es r2 ;  y en el pequeño es 1/ (r2/2), es decir, la inversa de r2/2 que es 2/r2 y como 2 = r2 x r2 sólo queda r2.)

Y si se repetía la operación para el rectángulo mitad, pasaba lo mismo para el rectángulo un cuarto. Y así sucesivamente. Ellos sabían que esa propiedad, según la cual se mantenía la proporcionalidad de los lados, sólo se cumplía con este nuevo y raro número irracional. Cualquier otro rectángulo cuya relación base/altura fuera distinta que r2 no lo cumplía.

Bueno, al menos este extraño número servía para algo. Mucho tiempo más tarde se descubriría que valdría para algo más.

***

Walter Porstmann, un ingeniero alemán, berlinés de nacimiento, que trabajaba en el “Comité de normalización de la industria alemana”, lo que luego fue el DIN,  seguramente conocía esta historia que os cuento porque en 1922 le pareció una propiedad muy interesante cuando propuso aplicarla para normalizar la caótica situación de las dimensiones de los papeles en Alemania, tan caótica como en cualquier otro lugar del mundo de la época.

Como el Sistema Métrico Decimal estaba ya bien implantado en la “civilizada” Europa de entre guerras, utilizó como rectángulo de partida el que tuviera un metro cuadrado de superficie y no el que utilizaron los pitagóricos de  1 x r2”, repuestos del hallazgo de r2.

Así pues, con un rectángulo de 1 m² y con la condición impuesta de la proporcionalidad con los rectángulos obtenidos al partir por la mitad el rectángulo inicial, recorrió el camino inverso al de la escuela pitagórica de Tarento.

Hizo el siguiente sencillo cálculo: si las dimensiones del rectángulo son a (lado pequeño) y b (lado grande), se debe cumplir que

a x b = 1 (m² ),

y  también cumplir la proporcionalidad con el rectángulo mitad,

b / a= a / (b/2),

dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya  solución es:

a= 0,84089642 m

b= 1,18920712 m

dándose entre ellos  la relación esperada

b= a x r 2,

es decir, están en la proporción de raiz de 2 y por lo tanto, esta proporción se mantiene en los sucesivos rectángulos mitad, como ya habían comprobaron los amigos de Hipaso de Metaponto. Esta fácil comprobación está al alcance del curioso lector.

Las dimensiones (con cinco decimales) de estos rectángulos  son las siguientes:

	a (m)	b (m)	a x b (m²)
A0	0,84090	1,18921	1,00000
A1	0,59460	0,84090	0,50000
A2	0,42045	0,59460	0,25000
A3	0,29730	0,42045	0,12500
A4	0,21022	0,29730	0,06250
A5	0,14865	0,21022	0,03125

Esta propuesta acabó siendo una norma din alemana y luego se convirtió en norma iso y europea para regular las dimensiones que deben tener los papeles en todas partes y es la única que yo conozco que tiene un origen científico y matemático. Aún hoy existen, incluso en paises civilizados, cientos de papeles de medidas completamente caprichosas que no hay manera de hacerlas compatibles unas con otras y cuya existencia está sólo justificada por la tradición, al igual que pasa con las medidas de origen inglés,  las libras y las pulgadas.

Y esta es la historia del origen  del primer número irracional, la raíz cuadrada de 2, que descubrieron los griegos intentando resolver un problema geométrico y de su moderna aplicación práctica en normalización. Al menos, es lo que yo creo.

Calidad de amor

Sucedió no hace mucho que un hombre que vivía en Rio Gallegos, llamado Juan, conoció por Internet a una mujer, María, de Salta. Ya sabéis, a unos tres mil kilómetros de distancia.

Cuentan  que chatearon. Se lo contaban todo. Llegaron a conocerse en profundidad. El tiempo en que se contaban sus cosas era la mejor parte del día.

El pudor puede representar un freno para que dos almas se conozcan. Cuando uno no ve al destinatario de sus confesiones este freno se suaviza y a veces puede desaparecer.

Sus almas se iban enroscando la una en la otra de tal  manera que un día descubrieron que ya no podían vivir por separado.

Al cabo de varios meses de su cita diaria por internet, Juan  le pidió una foto para comprobar, así se lo dijo, que su belleza espiritual se debería corresponder con un aspecto físico agradable; y María se la negó porque, argumentó-

-Mirá, nos hemos confesado el uno con el otro con total libertad porque nunca nos hemos visto nuestras caras. Si yo te he llegado a importar, parte del mérito está en que nuestro mutuo interés en el alma del otro no se ha dispersado en imágenes que nunca te darán una imagen completa de la realidad. –

Ella no necesitaba una foto de él para darle forma al alma de la que se había enamorado. Así que siguieron cruzando su correspondencia manteniendo la viveza de su inmediatez gracias al medio que estaban utilizando. Pero sin saber ni el aspecto que tenían ni imaginar cómo se modificaría la expresión de la foto después de cada afirmación que se cruzaran. Así que en lugar de ser un inconveniente, el no conocer el aspecto físico del otro, fue una ventaja para conocerse mejor.

Al cabo de un tiempo de confesiones a los dos les resultó fácil darse cuenta de que el otro no mentía, que no podía mentir, que era tal y como se representaba en su correo. No hubo intencionalidad de seducir en todas aquellas comunicaciones; pero Juan sedujo a María y María sedujo a Juan.

…

Un día Juan le dijo que había perdido su empleo y que tendría que reducir sus gastos para sobrevivir; así que no podría mantener su correspondencia con ella porque se daba de baja en Internet. A partir de ahora espaciaría sus contactos que los continuaría desde un cibercafé.

Ella le contestó que le dejaría dinero para lo que le hiciera falta. Él rehusó tantas veces como ella insistió, menos la última.

Pasaron meses y él sobrevivió gracias al dinero que ella puntualmente le enviaba a principios de cada mes, hasta que de nuevo consiguió un trabajo. Al cabo de poco, Juan consiguió ahorrar para devolverle el dinero a María. Y le dijo:

- lo que quiero hacer es llevarte a vos el dinero personalmente. Creo que es una ocasión para conocernos personalmente y brindar por nuestra amistad y por nuestro amor.-

María pareció sorprenderse de semejante proposición; pero después de una corta discusión hecha de argumentos acerca de las ventajas y los inconvenientes de conocerse personalmente, accedió.

Cuando llegó la fecha prevista del viaje de Juan al norte, quedaron en que se encontrarían al pie de la estatua de Güelmes en el centro de Salta. Él llevaría bajo el brazo el libro que le pensaba regalar y ella un ramito de violetas, así se reconocerían.

Hombre previsor, Juan se fue a buscar la plaza de la estatua de Güelmes  con una antelación de media hora sobre la cita.

Cuando se acercaba al lugar, se cruzó con una muchacha preciosa. Un vestido azul resaltaba su figura. Fue sólo un instante, pero suficiente. Él se fijó en sus largas pestañas, en el color de su piel, en sus formas de diosa que sugerían los suaves pliegues de aquel vestido azul que tardaría en olvidar y en sus ojos castaños con los que se cruzó su mirada. Fue una décima de segundo que nunca olvidaría. Cuando se alejaba, pensando que no podría olvidar fácilmente aquellos ojos, se dio cuenta no sólo no los olvidaría por ser tan lindos; sino porque en ésa décima de segundo apreció la profunda sinceridad de aquella mirada tan limpia y directa.

Aún impresionado por la veloz aparición de la muchacha de azul,  llegó a la plaza y se detuvo a una prudente distancia de la estatua. La suficiente para poder ver a la mujer que se encontraba a su pie con un ramito de violetas en el regazo. Era un poco entradita en años y con algo de sobrepeso. No era desagradable pero no era especialmente atractiva. Al contrario.

Se detuvo y dudó.  Consideró la posibilidad de salir huyendo. A fin de cuentas, ella no lo conocía. Buscaría a la chica de azul de aquellos bonitos ojos castaños. Luego, podría inventar alguna excusa que justificara su incomparecencia en la cita.

Pero esa mujer, la del ramito de violetas era… ella. Era la persona que mejor le conocía en el mundo. Era quien había conquistado su corazón. Era tierna y sensible, era amable porque era digna de ser amada por cualquiera y por supuesto por él, que la conocía bien.

La verdad era que no tenía nada que pensar, y aquella visión azul, que hacía unos minutos se decía que  jamás iba a olvidar, la enterraría en el fondo de sus recuerdos para no sacarlo jamás… porque estaba a unos metros de ella, ante la que era su propio corazón.

Se descubrió a sí mismo poniendo el libro acordado en su mano visible, la mano que llevaba el libro y se dirigió a presentarse a aquella mujer que le había mostrado la verdadera dimensión del amor.

- soy Juan…-

- oiga joven, no sé de que me habla. Yo sólo sé que una chica muy mona  vestida  azul, con quien me crucé hace unos minutos, me dio estas flores y me pidió que si un hombre con un libro en la mano se dirigía a mí , le indicara que ella le esperaba en aquel restaurante de la esquina.-

Esta historia  de Maria y Juan podría, incluso, ser verdadera. De personajes reales de carne y hueso. Pero la verdad es que no importa demasiado que no sea así. A mí me ha conmovido y me ha hecho pensar que hay pocas veces en que se puede disponer de una ocasión tan clara para verificar la calidad de un amor. La mayor parte de la gente sólo cuenta con el día a día y con la imperfecta comunicación hablada.

Esta historia la escuché por la radio, como si hubiera sido algo que le sucedió a un conocido del que hablaba;  pero me gustaría que alguien me confirmara que se trata de un cuento de algún escritor argentino.

jmn, navidad de 2010

Número FI