domingo, 27 de marzo de 2011

El primer número irracional

El primer número irracional.-

La primera vez que me enfrenté con “210 x 297” fue en las clases de dibujo del ingreso en la escuela de ingenieros. Teníamos que hacer estos rectángulos en el papel para luego  dibujar dentro. Creía que se trataba de dimensiones originales en pulgadas que había que poner en milímetros. La verdad, no pensé mucho en ello. Tenía otras preocupaciones. Tenía que aprobar para ingresar cuanto antes.
Poco después me enteré que estas extrañas medidas…210x298 eran las del DINA 4.


Esta es una narración acerca del improbable origen pitagórico del DINA 4.

Se cuenta que en el siglo V antes de Cristo las escuelas matemáticas de Grecia estaban enredadas  en la resolución del problema de construir un cuadrado que tuviera el doble de área que otro.
La convicción de que todos los números eran medibles por repetición de otros menores les llevó a probar primero con un lado de doble longitud que el primero; luego intentaron aproximarse con una vez y media y vieron que seguían lejos del cuadrado buscado. Después probaron con uno y un tercio del lado original y ¡vaya!, se quedaron cortos. Siguieron con uno y cuarto y mitad. Aquí se aproximaron un poco más. Y siguieron probando y probando; pero nunca podían asegurar que el nuevo cuadrado fuera de doble área del original. Era un problema que aparentemente no tenía solución.

En una ciudad griega del sur de Italia, llamada Tarento, había una escuela matemática  que era un monasterio donde se adoraba a la geometría, así como a otras materias igual de divertidas. Allí estaban los seguidores de Pitágoras. Uno de ellos llamado Hipaso de Metaponto siguiendo un sencillo dibujo geométrico se dio de cara con la solución.

Se podría pensar que la cosa fue así:

Dibujó un cuadrado de lado la unidad. Trazó una diagonal. Así quedaba dividido el cuadrado en dos triángulos iguales con la hipotenusa común y con los lados del cuadrado como catetos.
Luego dibujó un cuadrado, cuyo lado era la diagonal anterior (la hipotenusa común a cada uno de los triángulos rectángulos) y se dio cuenta de que el nuevo cuadrado tenía cuatro triángulos rectángulos idénticos a los dos que tenía el cuadrado original. Es decir,  que el nuevo cuadrado era de doble área que el primero. ¡eureka!,. Pero…

Pero no se podía medir el lado del cuadrado doble. Se resolvió un problema y se descubrió otro mucho más amplio. La medida de  la diagonal era un número raro. Había números raros. Números que no se podían medir como los que se conocían hasta entonces. ¡ vaya disgusto para los compañeros pitagóricos!

Para ellos, cualquier número “debía caber” en otro o era fracción del mismo. Es decir cualquier número era medible por comparación. Los números que se pueden medir  son los llamados números racionales.
Por ejemplo, el 14 es un número racional porque se puede decir que el número 2 cabe 7 veces en el catorce. O también, que el número 2,5 se puede medir partiendo por la mitad el número 5. O que el número 0,333…también es un número racional porque se obtiene dividiendo la unidad en tres partes… aunque- hoy sabemos que- tenga infinitos treses. En resumen, un número racional es el que se obtiene de una división entre dos números enteros.
Así que se comprende el grandísimo disgusto que se llevaron los matemáticos de entonces cuando descubrieron que había números que no se obtenían por fracción o división entre otros dos. Eran los que después se llamaron los números irracionales.

Ese día en que resolvieron el problema del cuadrado de área doble a otro, debió ser el mismo en que descubrieron el “primer número irracional”.

Los números irracionales no lo son en el sentido en que lo son los animales no humanos (y algunos humanos); sino porque no proceden de la división o razón entre dos números enteros. Una vez aclarado que los números irracionales no son números locos ni poco razonables, podemos afirmar que se caracterizan fundamentalmente porque son inconmensurables. No se pueden medir con otro número.

Buscaron  el 2 multiplicando  por sí mismas fracciones escogidas. Sin éxito lo intentaron con

7/5,  10/7,  17/12,  24/17,  27/19,  41/29…

hasta que se cansaron.

Cumplidas las previsibles medidas de castigo para el tal Hipaso, los pitagóricos empezaron a discurrir acerca de tan extraño numerito.
Primero, había que darle un nombre. Veamos, si es la diagonal de un triángulo rectángulo isósceles, este número al cuadrado (la hipotenusa) es la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, +1² =1+1 =2. El número buscado es aquel que elevado al cuadrado da 2. Se podría llamar la raíz de 2 y lo podremos nombrar como

r 2.

Hacía tiempo que Tales de Mileto había descubierto la proporcionalidad de las figuras como un elemento muy útil para la especulación geométrica. De tal manera que un triángulo cualquiera resultaba ser  proporcional a otro obtenido al partirlo con una paralela a uno de sus lados.

“En el triángulo grande, lado grande es a lado pequeño como lado grande es a lado pequeño en el triángulo pequeño”

Con los cuadriláteros no sucedía lo mismo. Ni siquiera con aquellos cuadriláteros que tenían los lados paralelos, como, por ejemplo, los rectángulos: en el caso de los rectángulos sólo había una posición de paralela para la cual se cumplía el teorema de Tales. En la escuela pitagórica de Tarento conocían muy bien el teorema de Tales y decidieron aplicarlo a un rectángulo cuyos  lados midieran 1  y  r2.

Hicieron el siguiente experimento:

Construyeron un rectángulo ABCD cuyo lado menor AB era la unidad y el mayor, CD,  r2.  Dividieron el rectángulo en dos partes iguales con una paralela al lado pequeño a una distancia mitad que r2 y aplicaron Tales:

“En el rectángulo grande, lado grande es a lado pequeño como lado grande es a lado pequeño en el rectángulo pequeño”

Y ¡oh, sorpresa! descubrieron que los dos rectángulos eran proporcionales.  Y sólo cuando el corte se hacía por la mitad de r2.

(En el rectángulo ABCD (1 x r2), la proporción r2/1 es r2 ;  y en el pequeño es 1/ (r2/2), es decir, la inversa de r2/2 que es 2/r2 y como 2 = r2 x r2 sólo queda r2.)

Y si se repetía la operación para el rectángulo mitad, pasaba lo mismo para el rectángulo un cuarto. Y así sucesivamente. Ellos sabían que esa propiedad, según la cual se mantenía la proporcionalidad de los lados, sólo se cumplía con este nuevo y raro número irracional. Cualquier otro rectángulo cuya relación base/altura fuera distinta que r2 no lo cumplía.
Bueno, al menos este extraño número servía para algo. Mucho tiempo más tarde se descubriría que valdría para algo más.

***

Walter Porstmann, un ingeniero alemán, berlinés de nacimiento, que trabajaba en el “Comité de normalización de la industria alemana”, lo que luego fue el DIN,  seguramente conocía esta historia que os cuento porque en 1922 le pareció una propiedad muy interesante cuando propuso aplicarla para normalizar la caótica situación de las dimensiones de los papeles en Alemania, tan caótica como en cualquier otro lugar del mundo de la época.

Como el Sistema Métrico Decimal estaba ya bien implantado en la “civilizada” Europa de entre guerras, utilizó como rectángulo de partida el que tuviera un metro cuadrado de superficie y no el que utilizaron los pitagóricos de  1 x r2”, repuestos del hallazgo de r2.

Así pues, con un rectángulo de 1 m² y con la condición impuesta de la proporcionalidad con los rectángulos obtenidos al partir por la mitad el rectángulo inicial, recorrió el camino inverso al de la escuela pitagórica de Tarento.

Hizo el siguiente sencillo cálculo: si las dimensiones del rectángulo son a (lado pequeño) y b (lado grande), se debe cumplir que
a x b = 1 (m² ),
y  también cumplir la proporcionalidad con el rectángulo mitad,
b / a= a / (b/2),

dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya  solución es:

a= 0,84089642 m
b= 1,18920712 m

dándose entre ellos  la relación esperada

b= a x r 2,

es decir, están en la proporción de raiz de 2 y por lo tanto, esta proporción se mantiene en los sucesivos rectángulos mitad, como ya habían comprobaron los amigos de Hipaso de Metaponto. Esta fácil comprobación está al alcance del curioso lector.

Las dimensiones (con cinco decimales) de estos rectángulos  son las siguientes:


a (m)
b (m)
a x b (m²)
A0
0,84090
1,18921
1,00000
A1
0,59460
0,84090
0,50000
A2
0,42045
0,59460
0,25000
A3
0,29730
0,42045
0,12500
A4
0,21022
0,29730
0,06250
A5
0,14865
0,21022
0,03125


Esta propuesta acabó siendo una norma din alemana y luego se convirtió en norma iso y europea para regular las dimensiones que deben tener los papeles en todas partes y es la única que yo conozco que tiene un origen científico y matemático. Aún hoy existen, incluso en paises civilizados, cientos de papeles de medidas completamente caprichosas que no hay manera de hacerlas compatibles unas con otras y cuya existencia está sólo justificada por la tradición, al igual que pasa con las medidas de origen inglés,  las libras y las pulgadas.

Y esta es la historia del origen  del primer número irracional, la raíz cuadrada de 2, que descubrieron los griegos intentando resolver un problema geométrico y de su moderna aplicación práctica en normalización. Al menos, es lo que yo creo.

1 comentario:

  1. Me gustó mucho tu artículo, pero te agradecería que pongas la fuente para poder saber la fidelidad de tu artículo. :)

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